WIP 音楽と建築

music-theory

ヤニス・クセナキスの音楽と建築を読んだ記録。

音楽

1. 確率と作曲

長さ (音価など)

書籍には下式が示されている。

P_{x} = \delta_{e}^{-\delta x} d_{x}

ただし、$x$ が長さを表し、その標準偏差が $\frac{1}{\delta}$ と示されていることから

  • $\delta_{e}$ は自然対数の底 $e$ のこと
  • $d_{x}$ は $\delta$ のこと

と仮定すると、これは指数分布を表しているものと思われる。

長さ $x$ は、平均を $\frac{1}{\lambda}$ とすると、下記の指数分布にしたがうとモデル化できる ($\delta$ を $\lambda$ とおいた)。

f_{\lambda}(x) = \lambda e^{-\lambda x}

音高・強弱・音色

書籍には、ポアソンの式として下式が示されており、音高・強弱・音色はポアソン分布にしたがうと述べられている。

P_{\mu} = \frac{\mu_{0}^{\mu}}{\mu!} e^{-\mu_{0}}

一般的な表記になおすと、音高・強弱・音色 $k$ (自然数) は、平均 $\lambda$、標準偏差 $\sqrt{\lambda}$ のポアソン分布にしたがうとしてモデル化できる。

f_{\lambda}(k) = \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda}

速度 (グリッサンドの速度など)

書籍には、速度 (速さ) $v$ の分布として下式が示されている ($a$ は温度定数)。

f(v) = \frac{2}{a \sqrt{\pi}} e^{-\frac{v^{2}}{a^{2}}}

これを導出してみよう。

一次元の速度 $v$ が、平均 $\mu = 0$、分散 $\sigma^{2} = \frac{a^{2}}{2}$ の正規分布にしたがうとする。

\begin{aligned}
f(v)
 &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{(v - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
 \\
 &= \frac{1}{a \sqrt{\pi}} e^{-\frac{v^{2}}{a^{2}}}
\end{aligned}

これを速さ ($v \geq 0$) の分布に直す。非負値をとらないように、単一切断正規分布にすると

f(v) = \frac{2}{a \sqrt{\pi}} e^{-\frac{v^{2}}{a^{2}}}

となる ($\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{v^{2}}{a^{2}}} = \frac{a \sqrt{\pi}}{2}$)。

この分布の平均 (期待値) $\mu$ と分散 $\sigma^{2}$ はそれぞれ

\begin{aligned}
\mu &= \int_{0}^{\infty} v f(v) = \frac{a}{\sqrt{\pi}} \\
\sigma^{2} &= \int_{0}^{\infty} (v - \mu)^{2} f(v) = \frac{\pi - 2}{2 \pi} a^{2}
\end{aligned}

となる (書籍には、標準偏差が $\sqrt{\frac{\pi - 2}{2 \pi} a}$ と記されているが、$\sqrt{\frac{\pi - 2}{2 \pi}} a$ の誤記だと思われる。つづく式はそのように書かれている)。

2. 三つのたとえ

空間・数・気体のたとえについては、得心がいかなかった。

3. メタミュージックに向けて

かきかけ

参考文献

  1. Iannis Xenakis (原著), 高橋悠治 (翻訳). 2017. 音楽と建築. 河出書房新社.