画像処理

image-processing

Fast color transfer from multiple images

局所色伝達: local color transfer

目標画像の領域 $R_{t}$ から元画像の領域 $R_{s}$ へ下式に従って色を伝達する。

d_{i}^{c} = \frac{\sigma_{t}^{c}}{\sigma_{s}^{c}} (s_{i}^{c} - \mu_{s}^{c}) + \mu_{t}^{c}
  • $c$: 色のチャンネル (La*b* 色空間で考える)
  • $d_{i}^{c}$: 結果画像の $i$ 番目の画素色
  • $s_{i}^{c}$: 元画像の $i$ 番目の画素色
  • $\mu_{s}^{c}$: 元画像の領域内の平均色
  • $\mu_{t}^{c}$: 目標画像の領域内の平均色
  • $\sigma_{s}^{c}$: 元画像の領域内の色の標準偏差
  • $\sigma_{t}^{c}$: 目標画像の領域内の色の標準偏差

局所線形埋め込み: locally linear embedding

近傍画素の線形和で画素を計算できると仮定して、その線形和の重み $\omega$ を求める。

\sum_{i=1}^{N} \left\| x_{i} - \sum_{j=1}^{N_{i}} \omega_{i,j} x_{i,j} \right\|^{2}
  • $N$: 画像の総画素数
  • $x_{i}$: $i$ 番目の画素
  • $N_{i}$: $i$ 番目の画素の近傍画素数
  • $x_{i,j}$: $i$ 番目の画素の $j$ 番目の近傍画素
  • $\omega_{i,j}$: $i$ 番目の画素の $j$ 番目の近傍画素に対する重み $\sum_{j=1}^{N_{i}} \omega_{i,j} = 1$

色伝搬: color propagation

\begin{aligned}
E &= \sum_{i=1}^{N} \left\| x_{i} - \sum_{j=1}^{N_{i}} \omega_{i,j} x_{i,j} \right\|^{2} + \lambda \sum_{i \in R} \| s_{i} - t_{i} \|^{2}
  \\
  &= [(I - W) S ]^{\top} (I - W) S + (S - T)^{\top} \Lambda (S - T)
\end{aligned}

を最小化するように色を伝搬させる ($S$ を求める)。

\begin{aligned}
\partial_{S} [(I - W) S ]^{\top} (I - W) S + (S - T)^{\top} \Lambda (S - T) &= 0 \\
(I - W)^{\top} (I - W) S + \Lambda (S - T) &= 0 \\
(I - W)^{\top} (I - W) S + \Lambda S  &= \Lambda T \\
\{(I - W)^{\top} (I - W) + \Lambda\} S &= \Lambda T \\
S &= \{(I - W)^{\top} (I - W) + \Lambda\}^{-1} \Lambda T
\end{aligned}

と一発で求められる。